Download Analysis 2, 5. Auflage by Wolfgang Walter PDF

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JR, welche einer Abschatzung (*) If(x) - f(Y)1 ~ Lb(lx - yl) genugen. Man zeige: Fur jedes f E Cb(D) gibt es eine kleinste Konstante L = L f , so daB (*) gilt. Durch Ilfll := If(a)1 + Lf (a E D fest gewahlt) wird eine Norm definiert, welche Cb(D) zu einem Banachraum macht.

N sind genau die beschriinkten und abgeschlossenen Mengen kompakt. Bemerkungen. 1. DaB dieser Satz flir nicht-vollstandige Raume falsch wird, zeigen einfache Beispiele, etwa M = X = (0,1) c JR. a. falsch. Dazu zeigen wir, daB die abgeschlossene Einheitskugel im Foigenraum loc nicht kompakt ist. Die Elemente el = (1,0,0,0, ... ), e2 = (0,1,0,0,0, ... ), e3 = (0,0,1,0, ... ), ... bilden eine Foige mit Ilek Ilx = 1 und Ilek - e,II CG = 1 flir k =1= I. Es kann also keine konvergente Teilfolge geben.

Dann gilt, wie man leicht sieht, auch lim d (Xk, b) = 00 fUr jedes b E X. h. Mist nicht kompakt. 14. D 1m IRn gilt auch die Umkehrung zu (a). 14. Es besteht also der folgende Satz. n sind genau die beschriinkten und abgeschlossenen Mengen kompakt. Bemerkungen. 1. DaB dieser Satz flir nicht-vollstandige Raume falsch wird, zeigen einfache Beispiele, etwa M = X = (0,1) c JR. a. falsch. Dazu zeigen wir, daB die abgeschlossene Einheitskugel im Foigenraum loc nicht kompakt ist. Die Elemente el = (1,0,0,0, ...

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