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By Andreas Speiser (auth.)

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Alle Abelschen Gruppen sind auflosbar. Beweis. Der Satz folgt aus den allgemeinen Theoremen von § 17 ohne weiteres. Wir konnen ihn aber im AnschluB an den vorigen Satz so beweisen: In einer Abelschen Gruppe sind auch alle Faktorgruppen daher auch die Primfaktorgruppen auflosbar; man kann folglich die Hauptreihen zu Kompositionsreihen erganzen, fiir we1che die Primfaktorgruppen Primzahlordnung haben. ~ 13. Kommutatorgruppen. 43 § 13. Kommutatorgruppen. 1st C der Kommutator von A und B, so ist X-ICX derjenige von X-lAX und X-IBX.

Natiirlich braucht man bei einem solchen Schema nicht alle Untergruppen zu beriicksichtigen. Der Satz 23 nimmt dann die Gestalt eines Parallelogrammes (Abb. 1) an. Gegeniiberliegende Seiten reQl prasentieren isomorphe Faktorgruppen. 2), aber nur ein Paar gegeniiberliegender Seiten entspricht hier einer Faktorgruppe, das andere reprasentiert bloB die Tatsache, daB die Indices diesel ben sind. Man kann auf diese Weise auch kompliziertere Abb. 1. Satze iibersichtlich gestalten, etwa folgenden: Satz 25.

X eine Nebengruppe aus Sf. /m ist Normalteiler von @/m. Die Faktorgruppe kann nur fur Normalteiler definiert werden, denn es gilt der Satz 21. p N ormalteiler. Beweis. p h Elemente. p enthalten und diese mussen identisch sein, da sie beide h Elemente besitzen. pA. § 9. Isomorphe Gruppen. Mit dem Begriff des Normalteilers ist aufs engste ein weiterer fundamentaler Begriff der Gruppentheorie verbunden, namlich der Isomorphismus zweier Gruppen. Nehmen wir als Beispiel die Drehungen eines reguHiren Korpers, etwa eines Oktaeders.

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