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By Prof. Dr. Klaus Jänich (auth.)
Unter Funktionentheorie versteht guy die Theorie der analytischen oder holomorphen Funktionen einer komplexen Ver?nderlichen. Die vorliegende vollst?ndig neubearbeitete Auflage ist eine f?r das Grundstudium gedachte erste Einf?hrung in dieses Gebiet. Vom Cauchyschen Integralsatz aus wird der Leser an die grundlegenden Begriffe und S?tze der Funktionentheorie herangef?hrt: Cauchyformel, Potenz- und Laurentreihenentwicklungssatz, Identit?tssatz, Gebietstreue, isolierte Singularit?ten und meromorphe Funktionen, analytische Fortsetzung, Residuensatz und Residuenkalk?l, der Satz von Mittag-Leffler, der Weierstra?sche Produktsatz und der Riemannsche Abbildungssatz bilden den Hauptinhalt dieses pr?gnant und kurz gefa?ten Buches. Viele Figuren und kommentierte ?bungsaufgaben sollen das Durcharbeiten erleichtern.
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Sei oBdA U = {zllzl < r}. Setze az(t):= tz. OIz f(Od( eine Stammfunktion von f (z ), denn für Zo E U und ßz(t) := (1 - t)zo + tz ist F(z) - F(zo) z - Zo =: _1_ { z - Zo } ßz = -1z- = o Fig. 26. 25. F(z) :=1"z f«)d( f(Od( f((l - t)zo f((l - t)zo + tz)· (z - zo)dt + tz)dt. 1·Im z _ zo F(z)-F(zo) Al so 1st z-zo = f() zo, un d daher ist f Ableitung einer holomorphen Funktion, also nach dem Satz von Goursat selbst holomorph. 0 Eine schöne Anwendung des Satzes von Morera ist das Schwarzsehe Spiegelungsprinzip.
Ki n K j - 1 = fdKi n Ki-1 für i = 1, ... , n K;_I gegeben. Dann sagt man, fn entstehe aus fo durch analytische Fig. 41. K; enthält auch die Mittelpunkte seiner Nachbarn Fortsetzung längs der Kreiskette. Vorausgesetzt, die analytische Fortsetzung eines holomorphen 10 längs einer gegebenen Kreiskette ist überhaupt möglich , dann ist sie nach dem Identitätssatz natürlich auch eindeutig bestimmt, und im Prinzip können wir sie konstruieren, indem wir sukzessive jeweils die Funktion Ij-1 um den Mittelpunkt von Ki in eine Potenzreihe entwickeln, die dann also Ij darstellt.
Ich mache deshalb nur die kryptische Bemerkung, daß 1 die einzige positive Zahl ist, die samt ihrem Kehrwert nicht größer als 1 ist. 1 Isolierte Singularitäten Die drei Typen isolierter Singularitäten Ist U c C offen und f : U --+ C eine holomorphe Funktion, so heißen die isolierten Punkte des Komplements C ,U die isolierten Singularitäten von f. Eine isolierte Singularität ist also ein Punkt Zo, an dem f zwar nicht definiert ist, um den es aber eine kleine offene Kreisscheibe gibt, worin er der einzige nicht zum Definitionsbereich U gehörige Punkt ist.