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By Giuseppe Gaeta

Questo testo si indirizza prima di tutto agli studenti delle Lauree Specialistiche in Biologia delle Universit� , ma sar� di interesse anche according to studenti di Scienze Naturali e Medicina. Gli argomenti trattati includono i piu' classici modelli matematici di fenomeni biologici (dinamica delle popolazioni, diffusione delle malattie infettive, semplici modelli di fisiologia), ma una parte rilevante del testo e' dedicata all'approccio matematico alla teoria dell'evoluzione natuturale. Gli unici prerequisiti richiesti al lettore sono quelli forniti dai corsi di base di Matematica della Laurea triennale in Biologia, Scienze Naturali o Medicina; gli altri strumenti matematici sono discussi nel testo o nei "complementi matematici" che ne formano parte integrante. Sebbene i modelli qui discussi siano essenzialmente in termini di (semplici) equazioni differenziali e dunque deterministici, tesi a descrivere l'evoluzione di quantita' medie, si e' a piu' riprese cercato di mostrare il ruolo delle fluttuazioni nei fenomeni biologici e come esso possa essere tenuto in conto in modo matematicamente semplice.

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Metodo del Carbonio 14. Grafico della funzione (2); questa fornisce l’et` a (in anni) del campione in funzione della concentrazione di C14 (qui fornita in unit` a di 10−12 ). Scriviamo quindi l’equazione per la variazione temporale di x(t) nella forma dx = R − Kx . (3) dt Vogliamo ora determinare l’andamento di x in funzione di t, sapendo che all’istante t = 0 in cui inizia la fleboclisi il livello era x(0) = x0 . Per fare ci`o, usiamo la soluzione generale della (3), che `e una equazione lineare con termine omogeneo costante: dunque, come discusso nel complemento matematico E (e come il lettore `e invitato a verificare per esercizio), x(t) = c0 e−Kt + (R/K) .

Eliminando i termini identici nelle due formule, risulta che T2 − T1 = 1 − e−kδ ∆T ; dato che k e δ sono ambedue positivi, l’esponenziale `e sempre minore di uno, ossia T2 − T1 > 0: la tazzina subito zuccherata ha una temperatura maggiore. (Ricordiamo che questo `e vero solo quando anche l’altra tazzina viene zuccherata). 5 Altre applicazioni semplici del modello logistico Come succede spesso nelle scienze, le stesse equazioni si prestano a descrivere modelli che appaiono in ambiti piuttosto diversi; ci` o vale non solo per la legge esponenziale.

Si chiede di calcolare la massa totale delle cellule originate dalla cellula iniziale ad un tempo t > 0 nei seguenti casi: (a) Per t < T0 , dove T0 `e il tempo della 46 Crescita esponenziale prima scissione cellulare (si richiede anche di calcolare detto T0 ); (b) Per t > 0 arbitrario, assumendo per semplicit` a di poter considerare l’approssimazione Tr = 0; (c) Per t > 0 arbitrario, tenendo conto che T0 `e positivo. Problema 5. Consideriamo un tessuto vivente esposto all’azione di radiazioni ionizzanti.

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